MATEMÁTICAS II: abril 2015

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Las razones trigonométricas se utilizan fundamentalmente en la solución de triángulos rectángulos, recordando que todo triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90⁰ y sus ángulos interiores suman 180⁰ . La notación que se acostumbra es la siguiente.

ANGULO DE ELEVACION Y DEPRESION

Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando este está situado arriba del observador y ángulo de depresión al que se va a medir por debajo de la horizontal.

PROBLEMAS SOBRE ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DE DEPRESIÓN

1. Un ingeniero observa con un teodolito la cima de un cerro con un ángulo de elevación de 41º, luego se acerca 28m y el nuevo ángulo de elevación es de 58º. ¿Cuál es la altura del cerro, si el teodolito mide 1,75m?

2. Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de 53º y 37º, si la distancia entre los ovnis es de90m ¿A qué altura están los ovnis y cuál es la distancia de la persona a los ovnis?

3. Los ojos de un jugador de baloncesto están a 1,8 m del piso. El jugador está en la línea de tiro libre a 4,6 m del centro de la canasta. El aro está a 3 m del piso. ¿Cuál esel ángulo de elevación de los ojos del jugador al centro del aro?

4. Desde un avión que se encuentra a 4500 m de altura se observan dos autos corriendo en lamisma dirección y sentido con un ángulo de depresión de 62º y 35º respectivamente.Determina la distancia en que se encuentran los dos autos.

5. Desde lo alto de una torre de 300 m. de altura se observa un avión con un ángulo de elevación de 15 grados y un automóvil en la carretera, en el mismo lado que el avión, con un ángulo de depresión de 30 grados. En ese mismo instante, el conductor del automóvil ve al avión bajo un ángulo de elevación de 65 grados. Si el avión, el auto y el observador se encuentran en un mismo plano vertical: calcule la distancia entre el avión y el automóvil, también calcule la altura a la que vuela el avión en ese instante.

6. Desde una determinada posición en un camino, una persona observa la parte más alta de una torre de alta tensión con un ángulo de elevación de 25º. Si avanza 45 m en línea recta hacia la base de la torre, divisa ahora su parte más alta con un ángulo de elevación de 55º.Considerando que la vista del observador está a 1,70 metros del suelo. ¿Cuál es la altura de la torre?

PROBLEMAS A RESOLVER
1.- ¿Que angulo forma la visión al Sol con el horizonte, si un edificio de 15 m. de altura proyecta una sombra de 36 m?
2.- ¿Desde la punta B de una torre, el angulo de depresión de la punta D de otra torre, que dista 25 m. de la primera, es de 25º. Si la torre mas alta mide 62 m, ¿Cual es la altura de la menor?
3.- Desde una embarcación P se ve un faro F y una casa C, en las direcciones este y sur-sureste. Sabiendo que la casa y el faro distan de 2 Km. hállese la distancia de la embarcación al faro.
4.- Dos observadores distan de una distancia de 250 m. Si uno de ellos viera un globo en su cenit
(es decir, en la vertical del lugar de observación), y el otro lo viera a 40º20´ sobre el horizonte, ¿Cual seria la altura del globo?
5.- Una escalera de 12 m. de largo, apoyada contra un edificio, forma un angulo de elevación de 68º. Hállese la altura del edificio, sabiendo que el extremo de la escalera toca la cima del mismo.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Si queremos representar en forma gráfica una función trigonométrica tomamos los valores de la variable independiente como abscisas y los valores de la función como ordenadas, obteniendo así una serie de puntos, los que al unirlos nos dará una línea que será la representación gráfica de la función.

Uso de la función seno: ésta se usa cuando en un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo y el cateto opuesto, o un ángulo agudo y la hipotenusa, o el cateto opuesto al ángulo dado.

Uso de la función coseno: si en un triángulo rectángulo conocemos un ángulo agudo y el cateto adyacente, o un ángulo agudo y la hipotenusa.

Podemos calcular el cateto adyacente al ángulo dado y la hipotenusa usando esta función.

Uso de la función tangente: si en un triángulo rectángulo conocemos un cateto y el ángulo adyacente a él podemos calcular el otro cateto.

Uso de la función cotangente: por lo tanto en todo triángulo rectángulo si conocemos un cateto y su ángulo opuesto podemos calcular el valor del otro mediante ésta.

Uso de la función secante: ésta se usa cuando se tiene lo contrario que en la función coseno.

Uso de la función cosecante: ésta se usa cuando se tiene lo contrario a la función seno.

PROBLEMAS RESUELTOS UTILIZANDO LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Paso 2: Relaciona y aplica funciones trigonométricas:

Sea el ángulo C, el ángulo base, se determina:

a) Cateto Opuesto = AB = Altura del edificio = h

b) Cateto Adyacente = BC = distancia = 18 metros.

c) Ángulo = 54°

d) Función trigonométrica que relaciona el cateto opuesto y el cateto adyacente

es la función Tangente.

Paso 5: La respuesta sería:

La altura del edificio según la posición del observador es de 24.77 metros, a ello, hay que sumarle la altura del observador, lo que nos proporciona:

Altura Total h = 24.77 metros + 1.72 metros = 26.49 metros.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.

Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:

Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:

A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes: